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定義
RLC回路とは、抵抗、インダクタ、コンデンサが直列または並列に接続された電気回路のことです。この名称は、回路図でこれらの素子を表す記号、すなわち抵抗を表す「R」、インダクタを表す「L」、コンデンサを表す「C」に由来しています。
現代の通信システムでは、RLC回路にトランジスタやダイオードなどの能動素子を組み合わせ、完全な集積回路を形成しています。集積回路内において、RLC回路はフィルタ、増幅器、または発振器として機能し、共振や減衰といった特性を利用して動作します。例えば、ラジオ受信機では、RLC回路が帯域通過フィルタとして機能し、ユーザーが他の周波数を排除して特定のラジオ周波数にチューニングできるようにしています。
RLC回路は、2次回路とも呼ばれます。これは、回路設計者がこれらの回路内の電圧や電流を記述するために2次微分方程式を用いることに由来しています。さらに、これらの回路内の各R、L、C素子は、さまざまなトポロジーで配置することが可能であり、最も単純なものは直列および並列のトポロジーです。
Physical Principles of RLC Circuits
純粋なRL回路およびRC回路では、インダクタ（L）またはコンデンサ（C）という形で、エネルギー蓄積素子が1つだけ存在します。いずれの場合も、回路設計者は1つの初期条件を指定するだけでよく、その結果、1次微分方程式が導かれます。
対照的に、RLC回路には両方のエネルギー蓄積素子が含まれているため、2つの初期条件が必要となり、その結果、2次微分方程式が導かれる。これらの初期条件は、回路に存在する初期電圧および初期電流に関するものである。
また、20世紀初頭までは、2次微分方程式が物理系の挙動を完全に記述できると考えられていたことも注目に値する。しかし、マックス・プランクが量子力学の基礎となる原理を定式化したことで、この見方は現在では変わっている。
とはいえ、二階微分方程式は、依然として多くの物理系の挙動を正確に記述している。その一例が振り子の揺れである。振り子を放すと、重力場における位置エネルギーが運動エネルギーに変換され、振り子が最高点に達すると、再び位置エネルギーへと変換される。振り子は（摩擦によって）エネルギーを散逸させるにつれて、徐々に静止状態へと移行していく。
実は、2次微分方程式は、振り子系で示されているように、エネルギーが周期的に交換される系を正確に記述することができます。この周期的なエネルギー交換は、電気場と磁気場が周期的に入れ替わるRLC回路の挙動を反映しています。
RLC回路の構成要素
抵抗、インダクタ、コンデンサを組み込んだRLC回路は、電気回路設計の基礎を成しています。これらの各素子は、回路全体の動作に影響を与える固有の物理的特性を示しています。
抵抗器
抵抗器は、電流の流れに「抵抗」し、それによって電圧降下を引き起こす集中定数素子です。抵抗器は、印加される信号の周波数に依存しない一定の抵抗値（単位はオーム）を持つという特徴があります。抵抗器は、RLC回路 内の平衡状態を維持するために不可欠な部品です。
インダクタ
インダクタは通常、ワイヤのコイルから構成されており、ワイヤに電流が流れると磁場の中にエネルギーを蓄積します。インダクタは電流の変化に抵抗を示し、その抵抗の程度は「誘導リアクタンス」（単位はオーム）と呼ばれます。この誘導リアクタンスは、印加される信号の周波数に依存します。周波数が上がると誘導リアクタンスは増大し、その逆も同様です。
コンデンサ
インダクタが磁界にエネルギーを蓄えるのに対し、コンデンサは電界にエネルギーを蓄えます。コンデンサは電圧の変化に抵抗を示し、その抵抗の大きさは「容量性リアクタンス」（単位はオーム）と呼ばれます。容量性リアクタンスは周波数に依存しており、周波数が上がると減少し、周波数が下がると増加します。
直列RLC回路の特性
「RLC回路 」という一連の回路では、抵抗、インダクタ、コンデンサが単一の回路経路上に配置されており、電圧が変化しても各素子を流れる電流は変わらないようになっています。その結果、以下のようになります：
- 抵抗器全体で、電圧は電流と同じ位相になります。
- インダクタ全体で、電圧は電流より90度進みます。
- コンデンサ全体で、電圧は電流より90度遅れます。
その結果、回路全体の電圧は、各素子にかかる電圧の代数和ではなく、それらのベクトル和となります。これらの電圧は、電流ベクトルを基準として、フェーザー図上にプロットすることができます。
その結果、回路全体の電圧は、各素子にかかる電圧の代数和ではなく、それらのベクトル和となります。これらの電圧は、電流ベクトルを基準として、フェーザー図上にプロットすることができます。
キルヒホッフの電圧の法則（KVL）によれば、閉回路内の電圧の和は、その回路にかかる起電力の和に等しい。したがって、電源電圧 VS（単位：ボルト）は次のように表される：
VS=VR+VL+VC
直列RLC回路で以下を仮定すると、
VR= IR
VL= LdI/dt
VC= Q/C
これが次のようになります
VS= IR + LdI/dt + Q/C
ここで、Iは電流、Lはインダクタンス、Qは電荷、Cは静電容量です。
どのような回路でも、電流の流れに対して当然ながらある程度の抵抗が生じます。これはインピーダンス（単位：オーム）として知られています。インピーダンスは、「抵抗性」成分（直流に対する抵抗）と「リアクティブ」成分（交流に対する抵抗）から構成されています。直列回路RLC回路 では、次のように表されます：
Z =√R²+ (XL²-XC²)
ここで、XLは誘導性リアクタンス（インダクタにおける交流電流に抵抗する力）、XCは容量性リアクタンス（コンデンサにおける交流電圧に抵抗する力）です。
以下に示すように、誘導性リアクタンスと容量性リアクタンスはどちらも周波数に依存します。
- いつ
XL>XC回路全体のリアクタンスは誘導性となり、電圧は電流に対して90°の位相角だけ先行する。 - いつ
XL < XC、回路は容量性となり、電圧は電流に対して90°遅れる。 - いつ
XL=XC、回路は共振状態になります。これは電子回路において、いくつかの重要な応用があります。
並列RLC回路の特性
並列RLC回路 では、R、L、Cの各部品両端の電圧は一定ですが、各部品を流れる電流は変化する可能性があります。並列RLC回路 は直列回路の逆の構成ですが、その数学的な扱いはより困難です。
回路を流れる総電流は、各要素を流れる電流の代数和ではなく、ベクトル和に等しくなります。
キルヒホッフの電流の法則（KCL）によれば、回路内の節点を通る電流の和はゼロとなる。したがって、回路内の任意の節点における源電流は、次のように表される：
IS-IR-IL-IC= 0
インピーダンスは以下となります。
1/Z = √(1/R)²+ (1/XL-1/XC)²
なお、上記の式は、直列RLC回路 におけるインピーダンスの式と逆の関係にあることに留意すべきである。実際、電気回路に存在する双対性関係により、並列RLCの特性は直列RLCの特性と鏡像関係にある。したがって、並列RLCのインピーダンスは直列RLCのインピーダンスの双対であり、両者の式は同じ一般的な形をとる。
インピーダンスの逆数（1/Z）は、アドミタンス（単位はジーメンス）と呼ばれます。これは、並列回路、特に複数の分岐が含まれる場合において、インピーダンスを計算するためのより便利な方法です。並列回路における総アドミタンスは、単に各要素のアドミタンスの和となります。逆に、直列回路では、総インピーダンスは各要素のインピーダンスの和となります。
なお、抵抗の逆数（1/R）はコンダクタンスとして知られ、リアクタンスの逆数（1/X）はサセプタンスとして知られています。
直列RLC回路と並列RLC回路における違い
前述したように、直列接続と並列接続の回路式は互いに逆の関係にあります。このことから、回路設計者は特定の設計において、直列接続と並列接続のどちらがより適しているかを判断することができます。以下の表は、直列および並列のRLC回路における主なの違いを示しています：
| 直列RLC回路 | 並列RLC回路 |
トポロジー | R、L、C要素は直列に接続されています。 | R、L、C要素は並列に接続されています。 |
電圧 | 電圧は回路要素によって異なり、総電圧は電圧のベクトル和に等しくなります。 | 電圧はすべての回路要素で同じです。したがって、電圧ベクトルはフェーザー図上の基準ベクトルとなります。 |
電流 | 電流はすべての回路要素で同じです。したがって、電流ベクトルはフェーザー図上の基準ベクトルとなります。 | 電流は回路の各要素によって異なり、総電流は各電流のベクトル和に等しくなります。 |
インピーダンスの計算 | 要素のインピーダンスから計算されます。 | 要素のアドミタンスから計算されます。 |
共振挙動 | 共振状態で、インピーダンスは最小になります。 | 共振状態で、インピーダンスは最大になります。 |
RLC回路の基本パラメータ
基本的に、RLC回路の挙動を表すパラメータは、共振周波数と減衰係数の2つです。技術者は、これら2つのパラメータから、帯域幅やQ値などの他のパラメータを導き出すことができます。
RLC回路の共振
RLC回路の重要な特徴の一つは、特定の周波数（共振周波数と呼ばれる）で共振する能力である。物理系は、より容易に振動する固有振動数を示す。共振時には（駆動源の有無にかかわらず）、振動が大幅に増幅され、その結果、効率的なエネルギー伝達が行われる。
RLC回路 （誘導結合回路）内では、コンデンサの電界に蓄積されたエネルギーが、インダクタを取り巻く磁界へと転送・蓄積されることがあり、その逆も同様である。この転送は周期的に発生し、その結果、RLC回路 （発振回路）が生じる。共振時、角周波数 ω（ラジアン単位）は次式で与えられる：
ω = 1/√LC
また、共振状態では、誘導性リアクタンスは容量性リアクタンスに等しく、回路の全インピーダンス（複素数）はゼロです。
そのため、インピーダンスは直列RLC回路では最小になり、並列回路では最大に達します。
RLC回路における共振の理解と応用は、特に通信、電力システム、信号処理の分野において、効率的かつ効果的な電子システムを設計するために極めて重要です。共振の主な応用例としては、以下のものが挙げられます：
- 周波数選択：共振時、RLC回路は特定の周波数の信号にのみ反応し、他の周波数の信号は遮断することができます。例えば、ラジオのチューナーなどがこれにあたります。
- フィルタリング：RLC回路は、バンドパスフィルタ、バンドストップフィルタ、ローパスフィルタ、ハイパスフィルタなど、さまざまな種類のフィルタとして機能することができます。また、集積回路においてノイズフィルタとして機能することもあります。さらに、特定の周波数の電流を抑制するリジェクタ回路としても機能することができ、この種の並列回路はアンチレゾネータとして知られています。
- 電圧増幅：抵抗が極めて小さい場合、インダクタとコンデンサの両端の電圧は入力電圧の数倍になることがあります。この電圧増幅効果は、回路のQ値に比例します。
- インピーダンス整合：共振時、直列回路RLC回路 におけるインピーダンスは純抵抗となり、最小値を示すのに対し、並列回路RLC回路 では最大値を示す。この性質は、インピーダンス整合に利用することができる。
- 電力伝達：直列RLC回路は共振時に最大電力伝達を達成するため、効率的なエネルギー伝達が求められる用途において極めて重要な役割を果たします。
- 発振回路： RLC回路は、特定の周波数での持続的な発振が求められる発振回路の用途で一般的に使用されます。このような場合、減衰を抑え、理想的なLC回路に近づけるために、回路の抵抗を（直列回路では）最小限に、あるいは（並列回路では）最大限に設定します。
RLC回路の減衰
減衰とは、振動するRLC系において、振動振幅が時間の経過とともに（抵抗の影響により）減少する傾向を指します。したがって、抵抗はRLC回路内でエネルギーを散逸させる上で極めて重要な役割を果たします。また、抵抗は、回路が自然共振（すなわち、駆動源がない状態）を起こすかどうかも決定づけます。
したがって、技術者はRLC回路において、以下の3種類の減衰応答を観察する：
- 振動の減衰が遅いことが特徴となる不足減衰回路
- 振動がすぐに止まる過減衰回路
- 定常状態の振動に到達するのに必要な臨界時間よりもわずかに短い時間で振動が停止する臨界減衰回路
- 臨界減衰回路の場合、\zeta = 1
無次元減衰比は、RLC回路における減衰特性を評価する上で重要なパラメータです。発振回路では、直列回路の抵抗を最小限に抑えつつ、並列回路の抵抗を最大化することで、減衰を最小限に抑えるよう設計されます。バンドパスフィルタでは、所望の帯域幅に合わせて減衰係数を調整します。値が大きいほど帯域幅は広くなり、その逆も同様です。
RLC回路の導出パラメータ
RLC回路で導出されるパラメータには、帯域幅とQ値があります。
帯域幅
帯域幅とは、RLC回路 が共振する周波数の範囲を指します。これはフィルタ設計における重要なパラメータであり、共振付近でのインピーダンスの急激な変化を利用して、共振周波数に近い信号を通過させたり遮断したりすることができます。この効果は、それぞれバンドパスフィルタとバンドストップフィルタにおいて顕著に見られます。
帯域幅とは、カットオフ周波数間の周波数差を指し、一般に、回路を通過する電力が共振時の半分の値となる周波数として定義される。
エンジニアは、所望の帯域幅に合わせてフィルタ回路の減衰量を調整します。減衰量が大きいと広帯域フィルタとなり、逆に減衰量が小さいと狭帯域フィルタとなります。
Q値
無次元のQ因子は、振動系がどの程度減衰しているかを表す。これは、系に蓄積された初期エネルギーと、1ラジアンの振動周期で失われるエネルギーとの比として定義される。
Q値が高いほどエネルギー損失率が低く、振動の減衰が緩やかになります（狭帯域、過減衰）。一方、Q値が低いほど損失の多い回路となります（広帯域、過減衰）。 高Q系の例としては、時計、レーザー、音叉などが挙げられ、特に音叉はQ値が1000前後の範囲を示します。一部の高Qレーザーでは、Q値が10¹¹以上になるものもあります。
RLC回路の最適化
抵抗、インダクタ、コンデンサを組み合わせたRLC回路は、回路設計の基盤を成しています。共振や減衰といった回路特性を活用することで、エンジニアは幅広い用途に対応するさまざまな回路を設計することができます。したがって、RLC回路を理解し、その特性を把握することは、さまざまな電子機器や通信システムに組み込まれる回路の設計、解析、最適化において極めて重要です。
RLC回路において、電磁結合 は、周波数特性、電力伝達、減衰、その他の特性に影響を及ぼし、これらの回路の性能に決定的な影響を与える要因です。
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